Angenähertes "Pi"-Getriebe

[Karl]

Habe mal ein Getriebe gebaut mit 7 Zähnen antriebsseitig und 22 Zähnen abtriebsseitig und sogar nur mit Fischertechnik.
Klar, mit Zwischenrad (20 Zähne).
Wie lange muß ich jetzt die 7 Zähne, natürlich nur in einer Richtung, fortlaufend kurbeln bis beide Wellen zueinander
genau wieder die gleiche Position wie am Anfang einnehmen
Schaffe ich dieses in diesem Leben noch ?

[Kali-Mero]

Hi Karl,

bestimmt habe ich die Aufgabe falsch verstanden. Aber so wie ich sie verstanden habe, musst Du die Antriebsseite 22 mal kurbeln, um beim Abtrieb genau 7 Umdrehungen und somit bei beiden Wellen wieder die Ausgangsposition erreicht zu haben.

Grüßle
Der Kali

[Karl]

Hallo,
aber die Übersetzung ins Langsame ist doch 3,142857142857..... : 1 mit nie endender Periode der
der ersten 6 Stellen rechts vom Komma.
Bin mittlerweile schon ein bischen irritiert.

[steffalk]

Tach auch!

Ich dachte, das sollte eine Knobelei für die "Kids" in dieser Corner sein, aber wenn tatsächlich die Antwort gesucht ist: Wenn ich recht verstanden habe, hast Du also ein 7:20-Getriebe gebaut. Dann geht das nach kgV(7,22) (kleinstes gemeinsames Vielfaches von 7 und 22) Umdrehungen. Da 7 und 22 teilerfremd sind, ist das 7 * 22 = 154 Umdrehungen. Nach 154 Umdrehungen stehen die Räder wieder genauso wie am Anfang.

Gruß,
Stefan

[Karl]

Getriebe ist mit 7 Zähnen als Antrieb und 22 Zähnen als Abtrieb.
Z 20 ist nur ein Zwischenrad, ändert also nur den Drehsinn des Abtriebes.
Also wäre das Übersetzungsverhältnis in Ordnung auch wenn es rechts vom Komma sich
ohne Ende darstellt, wenn auch sich periodisch wiederholend.
An das kgV = 154 habe ich auch schon gedacht.

Nachtrag: Zwei Bilder vom Getriebe:



Kette auf der Felge 30 ist leicht konisch, macht aber nichts.
"7er-Ritzel" sind sieben Kettenglieder auf einer Rastkupplung 35073
Kettenglieder sind mit etwas "Blitzkleber" fixiert obwohl straff auf der Felge bzw. Kupplung.

[ThanksForTheFish]

Dann geht das nach kgV(7,22) (kleinstes gemeinsames Vielfaches von 7 und 22) Umdrehungen. Da 7 und 22 teilerfremd sind, ist das 7 * 22 = 154 Umdrehungen. Nach 154 Umdrehungen stehen die Räder wieder genauso wie am Anfang.

Lieber Stefan,
da muss ich jetzt doch mal korrigierend eingreifen. Mit kgV hast du zwar recht, aber es sind keine Umdrehungen die dabei herauskommen.
154 sind die Ineinandergreifungen der Zähne. Das große Zahnrad dreht sich dann 7 Mal, wenn sich das kleine Zahnrad 22 mal dreht.
Und umgekehrt. Dreht man das kleine 22 mal, dann dreht sich das große 7 mal.

Das ist auch ganz einfach zu erklären:
Drehe ich das 7er Zahnrad 3 mal, dann entspricht das 3*7=21 Zähnen.
Das ist ein Zahn zuwenig für eine ganze Umdrehung des 22er Zahnrads.
Wiederhole ich das jetzt noch 21 mal (also insgesamt 22*3 Umdrehungen) rückt das 22er Zahnrad immer wieder (pro 3 Umdrehungen des 7er Zahnrads) einen Zahn zuwenig vor.
Die Lösung von Karls Aufgabe lautet also:
Das 7er Zahnrad muss 66 mal gedreht werden, dann stehen beide Zahnräder wieder in der selben Ausgangsposition.

Philip und ich hatten zufälligerweise letztes Wochenende das gleiche Problem mit einem 41er Zahnrad und einem 40er Zahnrad. Zuerst dachten wir auch, dass das Produkt von 40*41=1640 die Lösung sei. Das stimmt aber nicht.

Hier ist es noch etwas offensichtlicher:
Drehe ich das 40er Zahnrad 1 mal, dann dreht sich das 41er Zahnrad (logischerweise) 1 Zahn zuwenig.
Wiederhole ich das jetzt noch 40 mal (also insgesamt 41 Umdrehungen) rückt das 41er Zahnrad immer wieder (pro Umdrehung des 40er Zahnrads) einen Zahn zuwenig vor.

Liebe Grüße, euer Ralf

[ThanksForTheFish]

Das ist aber auch ein vertracktes Problem.
Ich war so nah dran es zu verstehen.
Probieren geht ja immer noch über Studieren.

Also: Ich habe nach Karls Vorgaben ein 7er Zahnrad gebaut, aber mit der schwarzen Kette und ein wenig ft-Litze drunter geklemmt, dann spart man sich den Sekundenkleber. Man kann das 7er dann direkt leicht angeschrägt in die Kette des 22er Zahnrads laufen lassen. Es wird also nicht zwingend ein Z20 als Zwischenglied gebraucht.
Schon nach 11 Umdrehungen hat sich gezeigt, dass Kali-Mero recht hat. Das 22er hatte sich 3,5 Mal gedreht.
Nach 22 Umdrehungen waren dann volle 7 Umdrehungen des 22er Zahnrads geschafft.
66 Umdrehungen sind zwar auch eine Lösung, aber viel zuviel Arbeit.

Bravo Kali-Mero, du hast als erster die korrekte Lösung=22 Umdrehungen gefunden.

Liebe Grüße, Ralf

[steffalk]

Tach auch!

Teufel auch! Ja, mittlerweile sehe ich auch die 22 als richtig. Boah, kann man da leicht reinfallen...

Gruß,
Stefan

[Karl]

Ja, die "22" ist korrekt für die Umdrehungs-Zahl des 7-Zähne-Zahnrades.

Nachtrag: Damit könnte man schon mal eine Fischertechnik-Uhr mit 7-Tages-Anzeige
als "Wochenuhr" bauen.
Für eine "Jahresuhr" müssten dann einige mechanische Problemchen gelöst werden.

[The Rob]

Es ist doch ganz einfach:
Wenn man ein Getriebe X:Y hat, mit der Bedingung dass X/Y vollständig gekürzt ist, dann gilt, dass man die jeweiligen Zahnräder X mal bzw. Y mal drehen muss, bis man wieder in der Ursprungsstellung ist.
Wie eben hier auch, wenn man eine Übersetzung 7:22 hat, dann muss man das eine Zahnrad (genau) sieben mal drehen, damit sich das andere (genau) 22 mal dreht

[Dirk Fox]

Liebe fischertechniker,

werft mal einen Blick auf unser kleines Zahnradgetriebe-Video, das wir, der Corona-Isolation trotzend, für die Schüler unserer über 80 fischertechnik-AGs erstellt haben. Wir freuen uns über Eure Rückmeldungen...

Herzlicher Gruß,
Dirk

[fishfriend]

Hallo...

Man könnte das auch anders sehen.
Das Pi Getriebe ist ein Getriebe, was nie zuendegedreht werden kann
und immer in Bewegung bleibt.

Mit freundlichen Grüßen
fishfriend
Holger Howey

[Karl]

Hallo Dirk,
dann wünsche ich für den Uhrenbesitzer ein "laaaanges Leben".

[Karl]

Hallo,
im Maschinenbau werden doch die meisten Getriebe, welche nicht synchron laufen müssen, mit
"krummen" Übersetzungen gebaut. Generell geradzahlige Zahnräder wären doch einfacher zu rechnen.
Warum macht man dieses, fragt sich ein ahnungsloser Fischertechniker ?

Kann man überhaupt ein Zahnrad-Getriebe bauen um die Zahl "Pi" komplett nachzubilden ?
Sind ja einige Stellen rechts vom Komma. Halbwegs handlich sollte es schon sein.

@Holger,
Nach den 22 antriebsseitigen Umdrehungen und den 7 Umdrehungen abtriebsseitig wäre der Durchlauf
komplett, auch als "Pi"-Rechengetriebe, es stehen beide Zeiger auf "Null".
Nur die Auflösung und Genauigkeit zwischendurch sind nicht gerade berauschend. Besser wären schon
113 : 355 oder entsprechende Zahnräder mit viel mehr Zähnen.

[Harald]

Die Zähne eines Zahnrads sind niemals genau gleich. Es gibt größere, kleinere, härtere und weichere. "Krumme" Übersetzungen sorgen dafür, dass nicht immer nur dieselben Kandidaten aufeinander treffen und der stärkere Zahn den schwächeren weg hobelt. Bei krummen Verhältnissen wird die Abnutzung gleichmäßiger über alle Zähne verteilt (der schwächste kriegt natürlich trotzdem "sein Fett weg"). Das verringert auch Vibrationen und die Geräusche, die das Getriebe so von sich gibt. Insbesondere in Oberklasse-Autos und bei U-Booten möchte man den Antrieb möglichst leise haben.

Die Firma Fendt hat da m.W. schon vor Jahren noch einen drauf gesetzt
Man nimmt nicht irgend ein Übersetzungsverhältnis, das von den Ingenieur/innen ausgerechnet wurde, und auch nicht das nächstliegende krumme (mit teilerfremden Zahlen) sondern wählt die Zahnpaarungen so weit drüber oder drunter, dass das Geräusch (der Grundton der Mischung natürlich) einer Zahnradpaarung einen Akkord mit dem Geräusch vom nächsten Zahnpaar im Antriebsstrang ergibt. Und im nächsten Getriebegang einen anderen Akkord, u.s.w. Ich sage mal: das ist der wohltemperierte Traktor.
Aber ich wüsste jetzt nicht, ob man auch Traktoren in Dur oder in Moll kriegen kann. Kann man aber bestimmt erfragen.

Gruß,
Harald

[Triceratops]

Hallo

Ein Getriebe mit der Übersetzung Pi ist mathematisch nicht möglich. Man kann zwar, wie schon mehrmals ange-
merkt, ein annäherndes Verhältnis zusammenstellen. Da Zahnräder aber immer nur nach "Ganzen Zahlen" gebaut
werden können - halbe oder anders fragmentierte Zähne gibt's nicht -, kann das Verhältnis zu Pi demnach immer
nur annähernd ausfallen.

3,141592653589793238462643383279 (hier mit 30 Stellen hinterm Komma - und es geht unendlich weiter so...)

Zur Berechnung von Übersetzungsverhältnissen habe ich vor einigen Jahren in meiner Trickfibel einen kleinen
Abschnitt gewidmet. Selbst mein Planetarium von 2007 besteht letztlich aus "ganzen" Umdrehungen jedes ein-
zelnen Zahnrades. Die Übersetzung für den Gesamtumlauf lautet z.B. 1099,851851... : 1 oder 29696 : 27 - d.h.:
für genau 27 Umläufe dreht sich die zentrale Rotationsachse (ein Modulabschnitt) exakt 29.696 mal). Und das
ließe sich auf jede einzelne Bewegung übertragen, sprengte aber hier den Rahmen.

Gruß, Thomas